Тип 26 № 23502

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.
2. Размеры тел небольшие по сравнению с размерами установки, будем описывать их моделью материальной точки.
3. Так как тела являются материальными точками, то для описания их движения будем использовать второй закон Ньютона относительно ИСО.
4. Так как нить невесома, то силы натяжения нити, действующие на грузы, равны между собой.
5. Так как нить нерастяжима, то можно утверждать, что тела движутся с одинаковыми по модулю ускорениями.

Решение

Обозначим: $N$ — сила реакции стола, $T_1 = T_2 = T$ — сила натяжения нити (нить невесома, блоки идеальны), $F_{\text{тр}}$ — сила трения, $a$ — модуль ускорения тел. Он одинаков у обоих тел, так как нить нерастяжима.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в векторном виде:

$$m_1\vec g + \vec N + \vec T + \vec F_{\text{тр}} = m_1\vec a, \qquad m_2\vec g + \vec T = m_2\vec a.$$

Спроецируем эти уравнения: для бруска на горизонтальную ось и на вертикальную, для груза на вертикальную ось (направлена вниз):

$$\begin{cases} T - F_{\text{тр}} = m_1 a,\\ N = m_1 g,\\ m_2 g - T = m_2 a. \end{cases}$$

Сила трения равна $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m_1 g$.

Сложим первое и третье уравнения системы, учитывая выражение для силы трения:

$$(m_1 + m_2)a = m_2 g - \mu m_1 g \;\Rightarrow\; a = \frac{m_2 g - \mu m_1 g}{m_1 + m_2}. \qquad (1)$$

При абсолютно неупругом ударе вся кинетическая энергия груза переходит в тепло:

$$Q = \frac{m_2 v^2}{2},$$

где $v$ — скорость груза непосредственно перед ударом.

Груз движется равноускоренно без начальной скорости и проходит путь $h$, поэтому

$$h = \frac{at^2}{2}, \qquad v = at \;\Rightarrow\; v^2 = 2ah.$$

Подставим $a$ из (1):

$$v^2 = \frac{2h\,(m_2 g - \mu m_1 g)}{m_1 + m_2}.$$

Тогда искомое количество теплоты:

$$Q = \frac{m_2 v^2}{2} = \frac{(m_2 g - \mu m_1 g)\,h\,m_2}{m_1 + m_2} = \frac{(3\cdot 10 - 0{,}25\cdot 2\cdot 10)\cdot 2\cdot 3}{3 + 2} = 30 \text{ Дж}.$$