Задание 26 № 23504: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия на угол $60^\circ$ и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой 10 г, летящая навстречу шару. Она пробивает его и продолжает двигаться горизонтально. Определите модуль изменения скорости пули в результате попадания в шар, если он, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол $39^\circ$ . (Массу шара считать неизменной, диаметр шара пренебрежимо мал по сравнению с длиной нити, $\cos 39^\circ = \dfrac{7}{9}$ .) Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Шар на нити отклонён на угол 60° от вертикали; навстречу ему в нижней точке траектории горизонтально летит пуля

Решение:

Обоснование

Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.
Тела движутся поступательно, размеры шарика малы по сравнению с размерами нити, а пуля ещё меньше, поэтому будем описывать шарик и пулю моделью материальной точки.
Будем считать, что время соударения шарика и пули мало, а значит, нить за это время не успевает заметно отклониться, поэтому в момент столкновения все силы направлены вертикально. Следовательно, в ИСО при попадании пули в шарик сохраняется импульс горизонтальной составляющей системы тел «шарик $M$ и пуля $m$ ».
При движении тел по вертикальной окружности после попадания пули в шарик механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тел:

$E_{\text{мех}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}}.$

Изменение механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу. В данном случае такой силой является только сила натяжения нити $\vec T$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем). В любой точке траектории она перпендикулярна скорости, поэтому её работа равна нулю, и механическая энергия сохраняется.

Решение

Движение шара вниз. За нулевой уровень потенциальной энергии возьмём нижнюю точку. Шар опускается на высоту $l(1 - \cos\alpha)$ :

$Mgl(1 - \cos\alpha) = \frac{Mv_0^2}{2} \;\Rightarrow\; v_0 = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)},$

где $v_0$ — скорость шара в нижней точке.

Удар и подъём после него. Пусть $v_1$ и $v_2$ — модули скорости пули до и после удара, $u$ — скорость шара сразу после удара. Направим ось по скорости шара (пуля летит навстречу). Закон сохранения импульса при ударе и закон сохранения энергии для подъёма шара после удара:

$\begin{cases} Mv_0 - mv_1 = Mu - mv_2,\\ \dfrac{Mu^2}{2} = Mgl(1 - \cos\beta). \end{cases}$

Из второго уравнения

$u = \sqrt{2gl(1 - \cos\beta)}.$

Из первого уравнения $m(v_1 - v_2) = M(v_0 - u)$ , откуда искомое изменение скорости пули:

$\Delta v = v_1 - v_2 = \frac{M}{m}(v_0 - u) = \frac{1 \text{ кг}}{0{,}01 \text{ кг}}\left(\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}5} - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}9 \cdot \left(1 - \tfrac{7}{9}\right)}\right) = 100 \cdot (3 - 2) = 100 \text{ м/с}.$