Тип 14 № 23490

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. Приводим степени к основанию 4.

$2^{2x^3+1}=2^{2x^3}\cdot2=2\cdot(2^2)^{x^3}=2\cdot4^{x^3}$. Уравнение:

$$4^{x^3-x^2+3x-0{,}5}+4^{x^3+x^2-3x+2{,}5}-10\cdot4^{x^3}=0.$$

Шаг 2. Делим на общий множитель $4^{x^3}$.

Во всех показателях есть одинаковая часть $x^3$. Делим уравнение на $4^{x^3}$ — это можно, так как $4^{x^3}>0$ при любом $x$ (на ноль не делим, корни не теряем). При делении степеней показатели вычитаются:

$$4^{-x^2+3x-0{,}5}+4^{x^2-3x+2{,}5}-10=0.$$

Шаг 3. Метод замены.

В показателях стоят $-(x^2-3x)$ и $+(x^2-3x)$. Обозначим $y=4^{x^2-3x}$, где $y>0$. Тогда:

• $4^{x^2-3x+2{,}5}=4^{x^2-3x}\cdot4^{2{,}5}=32y$ (так как $4^{2{,}5}=2^5=32$);
• $4^{-(x^2-3x)-0{,}5}=\frac{1}{4^{x^2-3x}}\cdot4^{-0{,}5}=\frac1y\cdot\frac12=\frac1{2y}$.

Уравнение:

$$\frac1{2y}+32y-10=0.$$

Умножаем на $2y\ne0$:

$$1+64y^2-20y=0\iff64y^2-20y+1=0.$$

$D=400-256=144$, $y=\frac{20\pm12}{128}$: $y=\frac{32}{128}=\frac14$ или $y=\frac8{128}=\frac1{16}$. Оба корня положительны — подходят.

Шаг 4. Обратная замена.

• $4^{x^2-3x}=\frac14=4^{-1}\iff x^2-3x=-1\iff x^2-3x+1=0\iff x=\frac{3\pm\sqrt5}2$;
• $4^{x^2-3x}=\frac1{16}=4^{-2}\iff x^2-3x+2=0\iff x=1$ или $x=2$.

б) Отбор корней сравнением с концами отрезка $[0{,}4;1{,}4]$.

• $x=\frac{3-\sqrt5}2$. Сравним с $0{,}4$: $\frac{3-\sqrt5}2<0{,}4\iff3-\sqrt5<0{,}8\iff\sqrt5>2{,}2\iff5>4{,}84$ — верно. Значит, этот корень меньше $0{,}4$ и не подходит.
• $x=1$: $0{,}4\le1\le1{,}4$ — подходит.
• $x=2>1{,}4$ — не подходит.
• $x=\frac{3+\sqrt5}2>\frac{3+2}2=2{,}5>1{,}4$ — не подходит.

Ответ: а) $\dfrac{3-\sqrt5}2;\ 1;\ 2;\ \dfrac{3+\sqrt5}2$; б) $1$.