Тип 14 № 23494

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. ОДЗ. $x\ge0$ и $2^{\sqrt x}-1>0$.

Шаг 2. Переход к основанию 5. $0{,}04=\frac1{25}=5^{-2}$, поэтому $\log_{0{,}04}A=-\frac12\log_5A$ и $\log^2_{0{,}04}A=\frac14\log_5^2A$.

Шаг 3. Метод замены. Пусть $t=\log_5\left(2^{\sqrt x}-1\right)$:

$$\frac{t^2}4-t+0{,}75=0\iff t^2-4t+3=0\iff t=1\ \text{или}\ t=3.$$

Шаг 4. Обратная замена.

• $t=1$: $2^{\sqrt x}-1=5\Rightarrow2^{\sqrt x}=6\Rightarrow\sqrt x=\log_26\Rightarrow x=\log_2^26$.
• $t=3$: $2^{\sqrt x}-1=125\Rightarrow2^{\sqrt x}=126\Rightarrow x=\log_2^2126$.

Под логарифмом получаются $5$ и $125$ — положительные числа, ОДЗ выполнена.

б) Отбор: оцениваем логарифмы степенями двойки.

• $\log_26$: $2^{2{,}5}=4\sqrt2\approx5{,}66<6<8=2^3$, значит $2{,}5<\log_26<3$ и $6{,}25<\log_2^26<9$. Число лежит в $[5;50]$ — подходит.
• $\log_2126$: $2^6=64<126<128=2^7$, значит $6<\log_2126<7$ и $36<\log_2^2126<49<50$. Тоже подходит.

Ответ: а) $\log_2^26;\ \log_2^2126$; б) $\log_2^26;\ \log_2^2126$.