а) Решаем уравнение.
Шаг 1. Всё через степени двойки.
4 1 − 10 x = 2 2 − 20 x = 4 ⋅ ( 2 − 10 x ) 2 4^{1-10x}=2^{2-20x}=4\cdot\left(2^{-10x}\right)^2 4 1 − 10 x = 2 2 − 20 x = 4 ⋅ ( 2 − 10 x ) 2 32 0,4 − 2 x = ( 2 5 ) 0,4 − 2 x = 2 2 − 10 x = 4 ⋅ 2 − 10 x 32^{0{,}4-2x}=(2^5)^{0{,}4-2x}=2^{2-10x}=4\cdot2^{-10x} 3 2 0 , 4 − 2 x = ( 2 5 ) 0 , 4 − 2 x = 2 2 − 10 x = 4 ⋅ 2 − 10 x Шаг 2. Метод замены. Пусть y = 2 − 10 x > 0 y=2^{-10x}>0 y = 2 − 10 x > 0
4 y 2 − 29 ⋅ 4 y + 400 = 0 ⟺ y 2 − 29 y + 100 = 0. 4y^2-29\cdot4y+400=0\iff y^2-29y+100=0. 4 y 2 − 29 ⋅ 4 y + 400 = 0 ⟺ y 2 − 29 y + 100 = 0.
По теореме Виета y = 25 y=25 y = 25 y = 4 y=4 y = 4
Шаг 3. Обратная замена.
2 − 10 x = 4 = 2 2 ⇒ − 10 x = 2 ⇒ x = − 0,2 2^{-10x}=4=2^2\Rightarrow-10x=2\Rightarrow x=-0{,}2 2 − 10 x = 4 = 2 2 ⇒ − 10 x = 2 ⇒ x = − 0 , 2 2 − 10 x = 25 ⇒ − 10 x = log 2 25 = 2 log 2 5 ⇒ x = − 2 log 2 5 10 = − 1 5 log 2 5 2^{-10x}=25\Rightarrow-10x=\log_225=2\log_25\Rightarrow x=-\frac{2\log_25}{10}=-\frac15\log_25 2 − 10 x = 25 ⇒ − 10 x = log 2 25 = 2 log 2 5 ⇒ x = − 10 2 l o g 2 5 = − 5 1 log 2 5 б) Отбор.
x = − 0,2 ∈ [ − 0,5 ; 0 ] x=-0{,}2\in[-0{,}5;0] x = − 0 , 2 ∈ [ − 0 , 5 ; 0 ] x = − 1 5 log 2 5 x=-\frac15\log_25 x = − 5 1 log 2 5 log 2 5 \log_25 log 2 5 4 < 5 < 4 2 ≈ 5,66 4<5<4\sqrt2\approx5{,}66 4 < 5 < 4 2 ≈ 5 , 66 2 2 < 5 < 2 2,5 2^2<5<2^{2{,}5} 2 2 < 5 < 2 2 , 5 2 < log 2 5 < 2,5 2<\log_25<2{,}5 2 < log 2 5 < 2 , 5 − 1 5 -\frac15 − 5 1 − 0,5 < − 1 5 log 2 5 < − 0,4 -0{,}5<-\frac15\log_25<-0{,}4 − 0 , 5 < − 5 1 log 2 5 < − 0 , 4 Ответ: а) − 0,2 ; − 1 5 log 2 5 -0{,}2;\ -\dfrac15\log_25 − 0 , 2 ; − 5 1 log 2 5 − 1 5 log 2 5 ; − 0,2 -\dfrac15\log_25;\ -0{,}2 − 5 1 log 2 5 ; − 0 , 2