Тип 19 № 23508

Шаг 1. Раскладываем первое уравнение на множители.

Перенесём всё в левую часть:

$$yx^2+7x^2+y^2-2y-63=0.$$

Сгруппируем: $x^2(y+7)+(y^2-2y-63)$. Квадратный трёхчлен $y^2-2y-63$ имеет корни $9$ и $-7$, поэтому $y^2-2y-63=(y+7)(y-9)$. Получаем

$$x^2(y+7)+(y+7)(y-9)=0\iff(y+7)(x^2+y-9)=0.$$

Значит, $y=-7$ или $y=9-x^2$. Первое уравнение системы задаёт на плоскости прямую $y=-7$ и параболу $y=9-x^2$.

Шаг 2. Случай (1): $y=-7$.

Из $x+y=a$ получаем $x=a+7$ — при любом $a$ ровно одна точка. Условие $x\ge-3$ даёт $a+7\ge-3$, т. е. $a\ge-10$.

Итак, в случае (1): одно решение при $a\ge-10$ и ни одного при $a<-10$.

Шаг 3. Случай (2): $y=9-x^2$.

Подставляем $y=a-x$: $9-x^2=a-x$, т. е.

$$x^2-x+(a-9)=0.$$

Количество корней. $D=1-4(a-9)=37-4a$.

• $a>9{,}25$: $D<0$, корней нет;
• $a=9{,}25$: один корень $x=0{,}5$ (он $\ge-3$);
• $a<9{,}25$: два различных корня.

Расположение корней относительно $-3$. Рассмотрим $f(x)=x^2-x+(a-9)$: ветви вверх, абсцисса вершины $0{,}5>-3$, а $f(-3)=9+3+a-9=a+3$.

• Если $f(-3)\ge0$, т. е. $a\ge-3$, то оба корня лежат правее $-3$ (или один из них равен $-3$) — оба подходят.
• Если $f(-3)<0$, т. е. $a<-3$, то точка $-3$ лежит между корнями: один корень меньше $-3$ (не подходит), другой больше — подходит.

Итак, в случае (2): два решения при $-3\le a<9{,}25$, одно при $a<-3$ и при $a=9{,}25$, ни одного при $a>9{,}25$.

Шаг 4. Сводим в таблицу.

Шаг 5. Учитываем совпадения решений.

Решение из случая (1) может совпасть с решением из случая (2). Тогда точка лежит и на прямой, и на параболе: $-7=9-x^2$, $x=\pm4$. Условие $x\ge-3$ оставляет $x=4$, точка $(4;-7)$, и $a=x+y=4-7=-3$.

Значит, при $a=-3$ решений не 3, а 2. Проверка: при $a=-3$ случай (2) даёт $x^2-x-12=0$, $x=4$ или $x=-3$, т. е. точки $(4;-7)$ и $(-3;0)$; случай (1) даёт ту же точку $(4;-7)$. Различных решений два.

При $a=9{,}25$ совпадения нет: точки $(0{,}5;\,8{,}75)$ и $(16{,}25;\,-7)$ различны.

Шаг 6. Итог. Ровно два решения при $-10\le a<-3$, при $a=-3$ и при $a=9{,}25$.

Ответ: $a\in[-10;\,-3]\cup\{9{,}25\}$.