Тип 19 № 23509

Шаг 1. Раскрываем модуль. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x-5y+5\ge0$. Тогда $|x-5y+5|=x-5y+5$:

$$x^2+5x+y^2-y-x+5y-5=52\iff x^2+4x+y^2+4y-57=0.$$

Выделяем полные квадраты: $(x+2)^2-4+(y+2)^2-4-57=0$, т. е.

$$(x+2)^2+(y+2)^2=65.$$

Это окружность с центром $O_1(-2;-2)$ и радиусом $\sqrt{65}$.

Случай 2: $x-5y+5\le0$. Тогда $|x-5y+5|=-(x-5y+5)$:

$$x^2+5x+y^2-y+x-5y+5=52\iff x^2+6x+y^2-6y-47=0\iff(x+3)^2+(y-3)^2=65.$$

Это окружность с центром $O_2(-3;3)$ и радиусом $\sqrt{65}$.

Шаг 2. Находим точки, где окружности встречаются с прямой $x-5y+5=0$.

Подставим $x=5y-5$ в уравнение первой окружности: $(5y-3)^2+(y+2)^2=65$, т. е. $26y^2-26y-52=0$, $y^2-y-2=0$, $y=2$ или $y=-1$. Получаем точки $B(5;2)$ и $A(-10;-1)$.

Они лежат и на второй окружности: $(5+3)^2+(2-3)^2=64+1=65$ и $(-10+3)^2+(-1-3)^2=49+16=65$.

Значит, первое уравнение задаёт фигуру из двух дуг с общими концами $A$ и $B$:

• дуга $\omega_1$ окружности с центром $O_1$, лежащая в полуплоскости $x-5y+5\ge0$;
• дуга $\omega_2$ окружности с центром $O_2$, лежащая в полуплоскости $x-5y+5\le0$.

Шаг 3. Второе уравнение. $y-2=a(x-5)$ задаёт прямую $m$, проходящую через точку $B(5;2)$, с угловым коэффициентом $a$. Точка $B$ — всегда решение. Остаётся понять, сколько ещё точек пересечения прямой $m$ с дугами.

Шаг 4. Особые положения прямой $m$.

• $a=\frac15$: прямая $m$ — это прямая $AB$ (её угловой коэффициент $\frac{2-(-1)}{5-(-10)}=\frac15$). Решения: $A$ и $B$ — два.
• Угловой коэффициент $O_1B$ равен $\frac{2+2}{5+2}=\frac47$. При $a=-\frac74$ прямая $m$ перпендикулярна радиусу $O_1B$, значит, касается окружности $\omega_1$ в точке $B$. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
• Угловой коэффициент $O_2B$ равен $\frac{2-3}{5+3}=-\frac18$. При $a=8$ прямая $m$ касается окружности $\omega_2$ в точке $B$.

Шаг 5. Аналитическая проверка. Вторая (кроме $B$) точка прямой $m$: $x=5+t$, $y=2+at$, $t\ne0$. Тогда $x-5y+5=t(1-5a)$.

Первая окружность: $(7+t)^2+(4+at)^2=65\iff t^2(1+a^2)+t(14+8a)=0$, откуда $t=-\dfrac{2(4a+7)}{1+a^2}$. Точка лежит на дуге $\omega_1$, если $t(1-5a)\ge0$, т. е. $(4a+7)(5a-1)\ge0$, и $t\ne0$ ($a\ne-\frac74$). Получаем: $a<-\frac74$ или $a\ge\frac15$.

Вторая окружность: $(8+t)^2+(at-1)^2=65\iff t^2(1+a^2)+t(16-2a)=0$, откуда $t=\dfrac{2(a-8)}{1+a^2}$. Точка лежит на дуге $\omega_2$, если $t(1-5a)\le0$, т. е. $(a-8)(5a-1)\ge0$, и $a\ne8$. Получаем: $a\le\frac15$ или $a>8$.

Шаг 6. Подсчёт решений (точка $B$ плюс «вторые точки» на дугах):

(Вертикальная прямая $x=5$ уравнением $y-2=a(x-5)$ не задаётся, её не рассматриваем.)

Шаг 7. Итог. Ровно два решения при $-\frac74\le a\le8$.

Ответ: $a\in\left[-\dfrac74;\,8\right]$.