Тип 19 № 23510

Шаг 1. Раскрываем модуль.

Случай 1: $x+3y+1\ge0$. Тогда $|x+3y+1|=x+3y+1$:

$$x^2+2x+y^2-4x-12y-4=9\iff x^2-2x+y^2-12y-13=0\iff(x-1)^2+(y-6)^2=50.$$

Окружность с центром $O_1(1;6)$ и радиусом $\sqrt{50}=5\sqrt2$.

Случай 2: $x+3y+1\le0$. Тогда $|x+3y+1|=-(x+3y+1)$:

$$x^2+2x+y^2+4x+12y+4=9\iff x^2+6x+y^2+12y-5=0\iff(x+3)^2+(y+6)^2=50.$$

Окружность с центром $O_2(-3;-6)$ и радиусом $5\sqrt2$.

Шаг 2. Точки на прямой $x+3y+1=0$.

Подставим $x=-3y-1$ в уравнение первой окружности:

$$(-3y-2)^2+(y-6)^2=50\iff10y^2+40=50\iff y=\pm1.$$

Получаем точки $A(-4;1)$ и $B(2;-1)$. Они лежат и на второй окружности: $(-4+3)^2+(1+6)^2=1+49=50$ и $(2+3)^2+(-1+6)^2=25+25=50$.

Значит, первое уравнение задаёт две дуги с общими концами $A$ и $B$:

• дуга $\omega_1$ окружности с центром $O_1$ в полуплоскости $x+3y+1\ge0$;
• дуга $\omega_2$ окружности с центром $O_2$ в полуплоскости $x+3y+1\le0$.

Шаг 3. Второе уравнение. $y+1=a(x-2)$ — прямая $m$ через точку $B(2;-1)$ с угловым коэффициентом $a$. Точка $B$ всегда является решением.

Шаг 4. Особые положения прямой $m$.

• $a=-\frac13$: угловой коэффициент прямой $AB$ равен $\frac{1-(-1)}{-4-2}=-\frac13$, т. е. $m$ совпадает с $AB$. Решения $A$ и $B$ — два.
• Угловой коэффициент $O_1B$ равен $\frac{-1-6}{2-1}=-7$. При $a=\frac17$ прямая $m$ перпендикулярна радиусу $O_1B$ и касается окружности $\omega_1$ в точке $B$.
• Угловой коэффициент $O_2B$ равен $\frac{-1+6}{2+3}=1$. При $a=-1$ прямая $m$ касается окружности $\omega_2$ в точке $B$.

Шаг 5. Аналитическая проверка. Вторая точка прямой $m$: $x=2+t$, $y=-1+at$, $t\ne0$. Тогда $x+3y+1=t(1+3a)$.

Первая окружность: $(1+t)^2+(at-7)^2=50\iff t^2(1+a^2)+t(2-14a)=0$, откуда $t=\dfrac{2(7a-1)}{1+a^2}$. Точка на дуге $\omega_1$, если $t(1+3a)\ge0$, т. е. $(7a-1)(3a+1)\ge0$, и $a\ne\frac17$. Получаем: $a\le-\frac13$ или $a>\frac17$.

Вторая окружность: $(5+t)^2+(5+at)^2=50\iff t^2(1+a^2)+10t(1+a)=0$, откуда $t=-\dfrac{10(1+a)}{1+a^2}$. Точка на дуге $\omega_2$, если $t(1+3a)\le0$, т. е. $(1+a)(3a+1)\ge0$, и $a\ne-1$. Получаем: $a<-1$ или $a\ge-\frac13$.

Шаг 6. Подсчёт решений (точка $B$ плюс «вторые точки»):

Шаг 7. Итог. Ровно два решения при $-1\le a\le\frac17$.

Ответ: $a\in\left[-1;\,\dfrac17\right]$.