Тип 19 № 23513

Каждое решение уравнения $\left(x^2-5x-y+3\right)\cdot\sqrt{x-y+3}=0$ либо является решением уравнения $x-y+3=0$, откуда $y=x+3$, либо является решением системы:

$$\begin{cases}x^2-5x-y+3=0,\\ x-y+3\ge0;\end{cases}\qquad\begin{cases}y=x^2-5x+3,\\ y\le x+3;\end{cases}\qquad\begin{cases}y=x^2-5x+3,\\ x^2-5x+3\le x+3;\end{cases}\qquad\begin{cases}y=x^2-5x+3,\\ x^2-6x\le0,\end{cases}$$

откуда $y=x^2-5x+3$ при условии $0\le x\le6$.

Для каждого из этих случаев подставим $y=3x+a$ и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от $a$.

Первый случай: $3x+a=x+3$, откуда $x=\dfrac{3-a}2$.

Второй случай: $3x+a=x^2-5x+3$ при условии $0\le x\le6$. Получаем квадратное уравнение $x^2-8x-a+3=0$. Дискриминант этого уравнения равен $64+4(a-3)=4(a+13)$. Значит, уравнение $x^2-8x-a+3=0$ имеет два корня при $a>-13$, имеет единственный корень $x=4$ при $a=-13$ и не имеет корней при $a<-13$.

При $a>-13$ функция $f(x)=x^2-8x-a+3$ принимает наименьшее значение при $x=4$, и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения $f(x)=0$ удовлетворяет условию $0\le x\le6$ тогда и только тогда, когда $f(6)\ge0$; $-a-9\ge0$, откуда $a\le-9$.

Аналогично меньший корень уравнения $f(x)=0$ удовлетворяет условию $0\le x\le6$ тогда и только тогда, когда $f(0)\ge0$; $-a+3\ge0$, откуда $a\le3$.

Число $\dfrac{3-a}2$ является корнем квадратного уравнения $f(x)=0$ при $\left(\dfrac{3-a}2\right)^2-4(3-a)-a+3=0$, откуда

$$\left(\frac{a-3}2\right)^2+3(a-3)=0;\qquad(a-3)(a+9)=0,$$

то есть при $a=3$ и при $a=-9$.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при $a=-13$; $-9\le a<3$.

Ответ: $a=-13$; $\ -9\le a<3$.