Тип 20 № 23477

Подготовка. Для упорядоченных количеств $n_1\ge n_2\ge n_3\ge n_4$ (всего $N$):

$$n_2+n_3+n_4\ge\frac{3(N-4)}4,\qquad n_3+n_4\ge\frac{N-8}2,\qquad n_4\ge\frac{N-12}4.$$

(Вывод: $3n_1\le n_2+n_3+n_4+12$; $n_1+n_2\le n_3+n_4+8$; $N\le4n_4+12$.)

Наименьшая стоимость. Она получается, когда больше всего маркеров у самого дешёвого цвета (чёрных $n_1$, синих $n_2$, красных $n_3$, зелёных $n_4$):

$$45n_1+52n_2+64n_3+72n_4=45N+7(n_2+n_3+n_4)+12(n_3+n_4)+8n_4.$$

(Проверка: у синего надбавка $7$, у красного $7+12=19$, у зелёного $7+12+8=27$ — это $52-45$, $64-45$, $72-45$.)

Пункт а). Пример: 9 чёрных, 7 синих, 5 красных, 4 зелёных (разности $2,2,1$):

$$405+364+320+288=1377\le1700.$$

Ответ: да.

Пункт б). При $N=35$: $n_4\ge\frac{23}4$, т. е. $n_4\ge6$ — каждого цвета не меньше 6. Тогда стоимость не меньше

$$45\cdot35+7\cdot6+19\cdot6+27\cdot6=1575+318=1893>1700.$$

Ответ: нет.

Пункт в).

Оценка. Пусть $N\ge31$. Тогда по формуле наименьшей стоимости:

$$\text{стоимость}\ge45N+7\cdot\frac{3(N-4)}4+12\cdot\frac{N-8}2+8\cdot\frac{N-12}4=58{,}25N-93.$$

При $N=31$: $58{,}25\cdot31-93=1712{,}75>1700$, а при больших $N$ ещё больше. Значит, $N\le30$.

(Для $N=31$ можно и в целых числах: $n_2+n_3+n_4\ge21$, $n_3+n_4\ge12$, $n_4\ge5$, стоимость $\ge1395+147+144+40=1726>1700$.)

Пример для $N=30$: 10 чёрных, 8 синих, 7 красных, 5 зелёных (разности $2,1,2$):

$$450+416+448+360=1674\le1700.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) 30.