Сборник Ященко. Теория чисел 2027

Ширина одной секции забора 1 метр. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 30 см (накладывать одну секцию на другую) и получать забор определённой длины.

а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 4,5 метра?

б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?

в) Найдите наименьшую длину $L$ (в сантиметрах) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины $L+10n$ см ($n\in\mathbb N$).

Сборник Ященко 2027. Вариант №1

Ширина одной секции забора равна 1,1 метра. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 40 см и получать забор определённой длины.

а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 6 метров?

б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?

в) Найдите наименьшую длину $L$ (в сантиметрах) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины $L+10n$ см ($n\in\mathbb N$).

Сборник Ященко 2027. Вариант №2

Чёрный маркер стоит 23 рубля, синий — 27 рублей, красный — 31 рубль, зелёный — 35 рублей. На 1000 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если $n_1,n_2,n_3,n_4$ — количества купленных маркеров каждого цвета и $n_1\ge n_2\ge n_3\ge n_4$, то $n_k-n_{k+1}\le2$ ($k=1;2;3$).

а) Можно ли купить 30 маркеров?

б) Можно ли купить 40 маркеров?

в) Какое наименьшее количество маркеров можно купить, если сдача с покупки будет меньше стоимости самого дешёвого маркера?

Сборник Ященко 2027. Вариант №3

Чёрный маркер стоит 45 рублей, синий — 52 рубля, красный — 64 рубля, зелёный — 72 рубля. На 1700 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если $n_1,n_2,n_3,n_4$ — количества купленных маркеров каждого цвета и $n_1\ge n_2\ge n_3\ge n_4$, то $n_k-n_{k+1}\le2$ ($k=1;2;3$).

а) Можно ли купить 25 маркеров?

б) Можно ли купить 35 маркеров?

в) Какое наибольшее количество маркеров можно купить?

Сборник Ященко 2027. Вариант №4

Первая последовательность состоит из $k$ ($k\ge10$) последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_1$. Вторая последовательность состоит из $2k$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_2$.

а) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=16$?

б) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=15$?

в) Найдите наименьшее возможное значение модуля разности $\dfrac{Q_1+Q_2}2$ и среднего арифметического набора, состоящего из членов первой и второй последовательностей, если в этом наборе нет одинаковых чисел.

Сборник Ященко 2027. Вариант №5

Первая последовательность состоит из $k$ ($k\ge10$) последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_1$. Вторая последовательность состоит из $2k$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_2$.

а) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=12$?

б) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=25$?

в) Найдите наибольшее возможное значение модуля разности $\dfrac{Q_1+Q_2}2$ и среднего арифметического набора, состоящего из членов первой и второй последовательностей, если в этом наборе нет одинаковых чисел.

Сборник Ященко 2027. Вариант №6

Миша написал программу, которая по заданному ей одному натуральному числу $D$ ($D\ge2$) выдаёт ряд чисел $n_i$ ($i=1;2;\ldots;1000$) по следующим правилам:

1. $n_1=1000-6D$;

2. для всех $k\ge1$: если $n_k>6D$, то $n_{k+1}=n_k-6D$, иначе $n_{k+1}=(n_k-6D)^2$.

а) Может ли в ряду быть число 140?

б) Может ли в ряду быть число 190?

в) Какое количество различных чисел будет в ряду, если $D=32$?

Сборник Ященко 2027. Вариант №7

Маша написала программу, которая по заданному ей одному натуральному числу $D$ ($D\ge2$) выдаёт ряд чисел $n_i$ ($i=1;2;\ldots;1000$) по следующим правилам:

1. $n_1=1000-6D$;

2. для всех $k\ge1$: если $n_k>6D$, то $n_{k+1}=n_k-6D$, иначе $n_{k+1}=(n_k-6D)^2$.

а) Может ли в ряду быть число 200?

б) Может ли в ряду быть число 550?

в) Какое количество различных чисел будет в ряду, если $D=28$?

Сборник Ященко 2027. Вариант №8

На доске записаны 100 натуральных трёхзначных чисел, среди которых есть хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде десятков, хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде единиц и хотя бы одно число без цифры 0. Если в каждом из чисел с цифрой 0 переставить цифры в порядке убывания, а в каждом из чисел без цифры 0 — в порядке возрастания, то получится новый ряд из 100 чисел.

а) Может ли сумма чисел первого ряда быть равна сумме чисел второго ряда?

б) Может ли сумма чисел второго ряда быть в 9 раз больше суммы чисел первого ряда?

в) В какое наибольшее число раз сумма чисел второго ряда может быть больше суммы чисел первого ряда?

Сборник Ященко 2027. Вариант №9

На доске записаны 110 натуральных трёхзначных чисел, среди которых есть хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде десятков, хотя бы одно число с цифрой 0 в разряде единиц и хотя бы одно число без цифры 0. Если в каждом из чисел с цифрой 0 переставить цифры в порядке убывания, а в каждом из чисел без цифры 0 — в порядке возрастания, то получится новый ряд из 110 чисел.

а) Может ли сумма чисел первого ряда быть равна сумме чисел второго ряда?

б) Может ли сумма чисел второго ряда быть в 8 раз меньше суммы чисел первого ряда?

в) В какое наибольшее число раз сумма чисел второго ряда может быть меньше суммы чисел первого ряда?

Сборник Ященко 2027. Вариант №10

У Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется $k$ кляссеров, причём 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+2$ кляссера, и также 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. В большом кляссере больше 150, но меньше 160 ячеек, а в маленьком кляссере — больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли $k$ быть равно 3?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции?

Сборник Ященко 2027. Вариант №11

У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется $k$ кляссеров, причём 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+3$ кляссера, и также 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. В большом кляссере больше 160, но меньше 170 ячеек, а в маленьком кляссере — больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли $k$ быть равно 4?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции?

Сборник Ященко 2027. Вариант №12

Для набора из 60 различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число $-400$?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 400?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Сборник Ященко 2027. Вариант №13

Для набора из 50 различных целых чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число $-300$?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 300?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Сборник Ященко 2027. Вариант №14

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (оно равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно 0.

а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в девять раз больше произведения $abc$?

б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в два раза больше произведения $abc$?

в) Найдите наибольшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

Сборник Ященко 2027. Вариант №15

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (оно равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно 0.

а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в пять раз больше произведения $abc$?

б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в 120 раз больше произведения $abc$?

в) Найдите наименьшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

Сборник Ященко 2027. Вариант №16