Тип 20 № 23484

Уравнение. Пусть в большом кляссере $B$ ячеек ($151\le B\le159$), в маленьком $M$ ($101\le M\le119$), монет $N$. Все кляссеры, кроме одного, заполнены полностью, в одном не хватает 5 монет:

$$N=kB-5=(k+2)M-5\ \Rightarrow\ kB=(k+2)M\ \Rightarrow\ \frac BM=1+\frac2k.$$

Пункт а). При $k=3$: $\frac BM=\frac53$, $B=\frac53M\ge\frac53\cdot101>168>159$. Противоречие с условием $B<160$. Ответ: нет.

Какие $k$ возможны. Отношение $\frac BM$ лежит между $\frac{151}{119}\approx1{,}269$ и $\frac{159}{101}\approx1{,}574$. Значит, $\frac2k$ лежит между $0{,}269$ и $0{,}574$, т. е. $k\in\{4,5,6,7\}$.

Перебор. Если $\frac BM=\frac pq$ — несократимая дробь, то $B=pt$, $M=qt$ при натуральном $t$. Подбираем $t$ так, чтобы $B$ и $M$ попали в свои границы:

Например, при $k=7$: $B=9t\in[151;159]$ даёт только $t=17$, $B=153$, $M=7\cdot17=119<120$ — подходит.

Пункт б). Наименьшее количество из таблицы — 607 ($k=4$, $B=153$, $M=102$). Проверка: $4\cdot153-5=607$ и $6\cdot102-5=607$.

Пункт в). Наибольшее — 1066 ($k=7$, $B=153$, $M=119$). Проверка: $7\cdot153-5=1066$ и $9\cdot119-5=1066$.

Других вариантов нет — мы перебрали все возможные $k$, $B$ и $M$.

Ответ: а) нет; б) 607; в) 1066.