Задание 20 № 23485: Сборник Ященко. Теория чисел 2027 — ЕГЭ по математике

У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется $k$ кляссеров, причём 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+3$ кляссера, и также 7 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. В большом кляссере больше 160, но меньше 170 ячеек, а в маленьком кляссере — больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли $k$ быть равно 4?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции?

Сборник Ященко 2027. Вариант №12

Решение:

Уравнение. $B$ — ячеек в большом ( $161\le B\le169$ ), $M$ — в маленьком ( $101\le M\le119$ ), $N$ — монет:

$N=kB-7=(k+3)M-7\ \Rightarrow\ kB=(k+3)M\ \Rightarrow\ \frac BM=1+\frac3k.$

Пункт а). $k=4$ : $B=\frac74M\ge\frac74\cdot101>176>169$ . Противоречие. Ответ: нет.

Какие $k$ возможны. $\frac BM$ между $\frac{161}{119}\approx1{,}353$ и $\frac{169}{101}\approx1{,}673$ , значит $\frac3k$ между $0{,}353$ и $0{,}673$ , т. е. $k\in\{5,6,7,8\}$ .

Перебор.

$k$	$B:M$	подходящие $B$ и $M$	$N=kB-7$
5	$8:5$	$B=168$ , $M=105$	$833$
6	$3:2$	$B=162,165,168$ ( $M=108,110,112$ )	$965,\ 983,\ 1001$
7	$10:7$	$B=10t$ : только 160 или 170 — оба вне границ	нет
8	$11:8$	$B=165$ , но тогда $M=120$ — не меньше 120	нет

Пункт б). Наименьшее — 833 ( $k=5$ , $B=168$ , $M=105$ ). Проверка: $5\cdot168-7=833$ , $8\cdot105-7=833$ .

Пункт в). Наибольшее — 1001 ( $k=6$ , $B=168$ , $M=112$ ). Проверка: $6\cdot168-7=1001$ , $9\cdot112-7=1001$ .

Ответ: а) нет; б) 833; в) 1001.

Источник: ЕГЭ · Математика · 2027