Задание 20 № 23488: Сборник Ященко. Теория чисел 2027 — ЕГЭ по математике

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (оно равно $100a+10b+c$ ) произведение его цифр $abc$ не равно 0.

а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в девять раз больше произведения $abc$ ?

б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в два раза больше произведения $abc$ ?

в) Найдите наибольшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$ .

Сборник Ященко 2027. Вариант №15

Решение:

Так как произведение цифр не равно 0, все цифры от 1 до 9.

Пункт а). $144$ : произведение цифр $1\cdot4\cdot4=16$ , и $9\cdot16=144$ . (Подходит и $135=9\cdot15$ .) Ответ: да.

Пункт б). Пусть $100a+10b+c=2abc$ .

Оценка. Левая часть больше $100a$ , значит, $2abc>100a$ . Делим на $2a>0$ : $bc>50$ .
Чётность. Правая часть $2abc$ чётна, $100a+10b$ чётно, значит, $c$ чётно.

Пары цифр с $bc>50$ и чётным $c$ : при $c=8$ — $b=7,8,9$ ; при $c=6$ — $b=9$ ; при $c=4$ или $c=2$ нужно $b>12$ — невозможно.

Выразим $a$ из уравнения: $a(2bc-100)=10b+c$ .

$(b;c)$	уравнение	$a$
$(7;8)$	$12a=78$	не целое
$(8;8)$	$28a=88$	не целое
$(9;8)$	$44a=98$	не целое
$(9;6)$	$8a=96$	$a=12$ — не цифра

Ни одна пара не подходит. Ответ: нет.

Пункт в). Все цифры не меньше 1, поэтому $bc\ge1$ , $ac\ge1$ , $ab\ge1$ , а значит $a\le abc$ , $b\le abc$ , $c\le abc$ . Оцениваем каждое слагаемое:

$100a+10b+c\le100\,abc+10\,abc+abc=111\,abc.$

Значит, отношение не больше 111. Равенство достигается при $a=b=c=1$ : число 111, произведение 1, отношение 111.

Ответ: а) да; б) нет; в) 111.

Источник: ЕГЭ · Математика · 2027