Тип 20 № 23489

Пункт а). $175$: произведение $1\cdot7\cdot5=35$, $5\cdot35=175$. Ответ: да.

Пункт б). Пусть $\overline{abc}=120abc$.

• Если $bc\ge2$, то $120abc\ge240a$. А $\overline{abc}\le100a+99$. Но $240a>100a+99$, так как $140a\ge140>99$. Противоречие.
• Значит, $bc=1$, т. е. $b=c=1$: $100a+11=120a$, $20a=11$ — $a$ не целое.

Ответ: нет.

Пункт в). Разделим почленно:

$$\frac{100a+10b+c}{abc}=\frac{100}{bc}+\frac{10}{ac}+\frac1{ab}.$$

Каждая из трёх дробей уменьшается, когда цифры увеличиваются. Значит, наименьшее значение — при $a=b=c=9$:

$$\frac{100+10+1}{81}=\frac{111}{81}=\frac{37}{27}.$$

(Это отношение $\frac{999}{729}$.)

Ответ: а) да; б) нет; в) $\dfrac{37}{27}$.